När alla matematiker började räkna med bråk

Tillfrågad om ämnet för sin bok The Great Math War svarar författaren Jason Socrates Bardi att den handlar om ”historia, matematik, kärlek, krigföring och oändlighet” – och lyckas därmed åstadkomma en sammanfattning så god som någon. Den gemensamma nämnaren för dessa företeelser är det symboliska krig som gett boken dess titel: striden som kring förra sekelskiftet utspelade sig mellan en handfull inflytelserika matematiker om matematikens grunder, räckvidd och giltighet.

Som upplägg för en bok låter en exposé över abstrakt matematisk krigföring i bästa fall som något för den specialintresserade: ett referat av döda (vita) mäns käbbel om en fråga som egentligen aldrig kan avgöras. (Och som mycket riktigt förblivit på det hela taget oavgjord.) Men det är knappast rädsla för snustorr irrelevans som fått Jason Socrates Bardi att skriva fram detta matematiska krig som en mänsklig passionshistoria kantad av samhällskonflikter och politisk omvälvning. Motivet tycks snarare vara författarens engagemang i den enskilda människans samspel med sina historiska omständigheter, såväl idémässiga som konkreta.

En av kontrahenterna i striden om matematikens grundvalar var filosofen Bertrand Russell, som förfäktade det som kallas logicism – övertygelsen att all matematik är möjlig att härleda utifrån logiska grundsatser; att matematiken i allt väsentligt är logik. Men den Russell som dominerar hos Bardi är den politiske aktivisten å den ena sidan och den tidvis hänsynslöse kvinnokarlen å den andra.

Något liknande gäller för L.E.J. Brouwer: en, får vi veta, misogyn bråkstake, som också råkade vara den så kallade intuitionismens banerförare. Som sådan förespråkade han en ytterst restriktiv syn på matematiken, enligt vilken ett matematiskt objekt existerar bara om matematikern också kan konstruera det. Brouwers hållning stod, och står, i skarp konflikt med de flesta kollegors syn på sitt ämne, inte minst för att den så radikalt inskränker matematikens räckvidd. Bara genom att, likt Brouwer, underkänna giltigheten hos lagen om det uteslutna tredje underkänner man i ett slag också bevisen för en betydande andel av matematikens satser.

Brouwer är också mycket riktigt något av en David i kampen mot Hilberts och Russells Goliatlika karaktärer, men icke desto mindre både en betydande matematiker och avgörande för den som vill förstå stridens förvecklingar.

Att konfliktens tredje aktör, David Hilbert, till skillnad från sina båda yrkesbröder blir synlig som matematiker i åtminstone samma mån som han visar sig som människa, är nog mindre Bardis förtjänst än en konsekvens av att knappt någon enskild individ genom historien kan sägas ha förkroppsligat matematiken i högre grad än Hilbert. Under flera decennier kring sekelskiftet 1900 var han Europas främste matematiker, med stort inflytande över forskningen.

Den så kallade formalism som han formulerade som svar på Russells och Brouwers idéer fick därför ett omedelbart gensvar i breda kretsar. Enligt Hilberts syn är matematiken inte mer än en mycket särskild form av spel, och om man bara lyckas formulera dess spelregler på rätt sätt har man också uttömt dess innebörd.

Detta var alltså bataljens kombattanter: en filosof övertygad om att matematiken kan härledas ur logiken, en matematiker som ville begränsa det matematiskt sanna till det intuitivt riktiga och ännu en man som menade att matematiken var konsekvensen av att kombinera symboler enligt vissa givna regler, oberoende av dessa symbolers innebörd.

Så vad var det då som tände gnistan till den konflikt som också av deltagarna själva omtalades i termer av öppen strid? Ett annat sätt att ställa samma fråga skulle kunna vara: Varför tycktes det för många, vid en viss tidpunkt i historien, angeläget att förvissa sig om hållfastheten i matematikens grundvalar? Ett svar på detta inbegriper också det som numera kallas Russells paradox: en variant på en urgammal antinomi som något år in på det tjugonde seklet visade sig dyka upp också inom matematikens mängdteori.

En variant befriad från matematikens formalism är den så kallade barberarparadoxen: Barberaren rakar alla som inte rakar sig själva, och enbart dessa. Vem rakar då barberaren? Om han inte rakar sig själv är han en man som inte rakar sig själv, och rakar alltså sig själv. Och om han tvärtom rakar sig själv, så rakar han inte sig själv eftersom han rakar sig själv.

Lika olycksalig som denne outgrundlige barberare fann Russell den matematiska mängden av mängder som inte innehåller sig själva – om denna mängd innehåller sig själv, så innehåller den inte sig själv, och vice versa – och riktade därmed matematikernas blickar mot en öppen spricka i det som dittills tyckts vara ett ointagligt fort. Att denna upptäckt ledde till det ökade intresse för matematikens grunder som så småningom skulle urarta i det matematikens ”stora krig” som Bardi beskriver, är således knappast förvånande. Det som står på spel är trots allt inget mindre än kunskapens – eller kanske rentav tillvarons – tillförlitlighet. Med Hilberts ord: Om till och med matematiken sviker, var ska människan då finna sanning och säkerhet?

Bardi är alltså en personporträttens författare, och den turbulenta tiden kring de båda världskrigen erbjuder både skakande personöden och färgstarka personligheter: Vid sidan om de stridande presenterar han figurer som Emmy Noether, Georg Cantor och Ludwig Wittgenstein, för att nämna några.

Den stil med vilken deras och andras levnadsöden skildras kan inte med den bästa vilja i världen kallas ekonomisk – kanske snarare målerisk. Där en mer återhållsam författare skulle ha nöjt sig med en mening slänger Bardi fram tre, eller fem, eller kanske rentav sju: synonymer med små förskjutningar, associativa bilder, stämningsskapande upprepningar. Så här skildras till exempel Hilberts sinnesstämning inför ett framträdande: ”Publiken vänder sig ditåt. Allas ögon på honom. Detta är hans revir, inte Brouwers. Det här är hans människor, inte Brouwers. De älskar honom. Detta är hans stad. Vem är den där typen Brouwer ens? En enstöring! En förlorare! Detta är för guds skull Göttingen – det är hans stad. Hans hemmarevir.” Och så vidare.

När Tysklands diktator gör entré är det inte som ”Adolf Hitler” utan som ”den korkade pajasen och rasistiska mördaren” med samma namn – visserligen inte en kontroversiell ståndpunkt, men ändå ett av textens många uttryck för viljan att låta de egna åsikterna prägla framställningen.

Efter avslutad läsning vet jag, med andra ord, en hel del om vad författaren tänker om allt möjligt. Men hur mycket vet jag om The Great Math War, denna matematikens stora grundvalskonflikt? Mindre än jag hade önskat. Inte i något skede tillåter sig Bardi att bli svårgenomtränglig, och även om hans pedagogiska analogier genomgående är både korrekta och belysande märks det att kravet på läsbarhet utgör en begränsning för ett verk som berör olika möjliga förhållningssätt till matematikens grunder.

Kanske i synnerhet i Bardis relativt kortfattade skildring av stridigheternas upplösning blir det tydligt att det är personliga drivkrafter snarare än teoretiska finesser som står i fokus: Det unga geniet Kurt Gödel kommer in som hastigast på slutet och sägs upplösa hela konflikten genom sina båda ofullständighetsteorem. Om matematiken inte är i stånd att bevisa sin egen giltighet framstår strävan att blottlägga dess grunder som så fruktlös att den blir meningslös. Matematikerna fick annat att göra, och de naturvetenskapligt lagda filosoferna (och de filosofiskt lagda naturvetarna) kunde
i stället rikta blicken mot fysikens nya omvälvande och kontraintuitiva resultat.

Kanske hade en lätt revidering av Bardis egen beskrivning av boken därför varit en ännu mer sanningsenlig innehållsdeklaration: ”historia, kärlek och krigföring i en matematisk inramning”, eller något i den stilen. Som upplägg för en bok med ambition att nå fler än de specialintresserade måste jag erkänna att det låter – tja, inte så tokigt.